مجموعه اعداد حقیقی 

مقدمه

از اعداد می توانیم برای اندازه گیری طول ، یا کمیتهای دیگر فیزیکی استفاده کنیم، ولی یونانیان می دانستند پاره خط هایی هم وجود دارند که طول آنها را نمی توان در تئوری ، دقیقا با اعداد گویا اندازه گرفت. آنها هندسه دانان بزرگی بودند، یکی از قضیه های ساده ولی عمیقشان قضیه فیثاغورث بود. با اعمال این قضیه بر مثلث قائم الزاویه که طول اضلاع کوچکترش هر دو یک باشد نتیجه می گیریم که طول وترش x است و 2=12+12=2x با توجه به اینکه عدد گویایی (اعداد گویا قبل از اعداد حقیقی کشف شده بودند) چون m/n وجود ندارد که 2=2 .

تاریخچه

یکی از مهم‌ترین ویژگیهای اعداد حقیقی این است که در آنها اعمال جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به استثنای تقسیم برصفر) را می توان انجام داد. بدین سبب است که معادله خطی کلی ax + b = 0 را می‌توان در حوزه اعداد حقیقی حل کرد و چنین نوشت: ax + b = 0. ولی وضعیت در مورد معادله درجه دوم کاملاً متفاوت است. به عنوان مثال معادله درجه دوم x² + 1 = 0 را در حوزه اعداد حقیقی نمی‌توان حل کردو x را به دست آورد. مربع یک عدد حقیقی نمی‌تواند عددی منفی باشد. در چنین وضعیتی حوزه دستگاه اعداد حقیقی را طوری توسعه می‌دهیم که چنین معادله‌هایی حل شدنی باشد. دستگاه اعداد را چنان توسعه می‌دهیم تا اعدادی مثل یعنی عددی را که مربعش ?- است ، نیز در بر گیرد. این گونه اعداد با احساس شهودی ما اصلاً جور در نمی‌آیند و در گذشته بسیاری از ریاضیدانان با معرفی این گونه هیولاها مخالفت داشتند و از این رو آنها را اعداد انگاری نامیده‌اند . وضعیت تا سده هیجدهم به همین منوال بود تا اینکه لئوراد اویلر (1707-1783) با کارهای استادانه روی اعداد انگاری نتایج متعدد جالبی بدست آورد. ک.ف گاوس (1777-1855) با معرفی اعداد انگاری به صورت نقاط یک صفحه نام تازه اعداد مختلط را بر آنها نهاد و از آنها برای یافتن نتایجی چشمگیر از نظریه اعداد استفاده نمو د. از این طریق عضویت اعداد مختلط را در سلسه اعداد مسجل ساخت. تقریباً در همان زمان ا.ل. کوشی (1789-1857)، هنگام تلاش در پیدا کردن روشی یکنواخت برای محاسبه انتگرال های معین، حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع با متغیرهای مختلط را بررسی کرد. این امر سرآغاز نظریه توابعی بود که زمینه مساعدی برای کشف توابع بیضوی از سوی ن.ه. آبل (1802-1829) و کارل گوستاو یاکوبی (1804-1851) را فراهم ساخت. علاوه بر این، بسط هندسه تصویری نشان داد که استفاده از اعداد مختلط در هندسه نیز امری اجتناب ناپذیر است. پیشرفت تحقیقات روشن کرده است که برای اینکه ریاضیات، حتی فقط حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خوبی بفهمیم، محدودیت غیر طبیعی حوزه اعداد حقیقی به ما حکم می‌کند که برای دستیابی به مفاهیم یکنواختی و همسازی، اعداد مختلط را نیز دخالت دهیم.

تعریف

اعداد حقیقی که با نمواد R نمایش داده می شود مجموعه ای تقریبا کامل از اعداد هستند که دارای خواص مطلوب می باشند. در مجموعه R دو عمل دوتایی جمع و ضرب با خواص حسابی مناسب ، و کافی برای امکان تعریف تفریق و تقسیم ، باید وجود داشته باشند علاوه بر این رابطه ای ترتیبی هم که به طور مناسبی به جمع و ضرب مکربوط شود و طرحش طوری باشد که حضور اعضای منفی را نیز ملحوظ کند، باید وجود داشته باشد. آخرین جزء اصلی ، اصل کمال است. به طور کلی می توان چنین نتیجه گرفت که: هرگاه سه جنبه 1-حساب 2- ترتیب 3- اصل کمال ، به طور مناسبی بیان شوند می توانند اعداد حقیقی را به طور کاملا توصیف نمایند.

با توجه به مطالب گفته شده اکنون به بررسی سه مورد فوق می پردازیم تا اعداد حقیقی را به نحو شایسته ای توصیف کرده باشیم.

خواص اعداد حقیقی

* حساب: مجموعه ای چون R با اعمال دوتایی + و 0 میدان نامیده می شود اگر به ازای هر و b,a:
"a+b=b+a "
"a+(b+c)=(a+b)+c "
"عضوی چون وجود داشته باشد که به ازای هر داشته باشیم a+0=a. "
"اگر عضوی چون وجود داشته باشد تا a+(-a)=0. "
"a.b=b.a "
"a(bc)=(ab)c"
" عضوی چون وجود داشته باشد که 0≠1و به ازای هر داشته باشیم:" 1a=a.
"اگر ،0a≠ ، عضوی چون وجود داشته باشد بطوری که 1=1-a.a "
" a(b+c)=ab+ac"
در بندهای فوق عضوهای 0 و 1 را اعضای صفر و یکه R می نامند به واسطه بندهای 1 و 5 داریم:
0+a=a ، (-a)+a=0 ، a1=a ، a-1a=1 و (a+b)c=ac+bc

میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می‌دهند. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط می نامند.

اعداد حقیقی و فیثاغورس

فیثاغورس ریاضی دانی که پیش ازمیلاد مسیح می زیست و همچنین هواداران اوبرای عدد اهمیت خاصی قائل بودند آنها اعتقاد داشتند نه تنها طول وسطح وحجم و وزن وزمان را میتوان به یاری اعداد مشخص کرد .بلکه پدیده های بغرنج تری از جمله موسیقی غم وشادی ،آرامش والتهاب و... هم با اعداد قابل بیان اند به این ترتیب آنها عدد را سرچشمه شناخت همه پدیدههای مادی ومعنوی می دانستندو می گفتند :

 ((چیزی در جهان وجود ندارد که با کمک عدد قابل بیان نباشد.))

افلاطون که یکی از هواداران فلسفه فیثاغورس بود در کتاب جمهور خود معتقد به اعجاز عدد است وگمان می کند به کمک عدد می توان زندگی وپش آمد های آینده را پیش بینی کرد .

البته در سرزمین ایلام وبابل هم سده ها پیش از دوره زرین یونان باستان اعتقاد های نادرستی در باره عدد داشتند واز جمله هریک ازخدایان مورد پرستش خود را با عددی مشخص می کردند وبسیار احتمال دارد که فیثاغورس دیگاه های فلسفی خود را از آن گرفته باشد همین اعتقاد های نادرست را باید سرچشمه بسیاری از دیدگاههای خرافی بشر نسبت به عدد دانست که برای نمونه7 عددی مقدس و13 عددی نحس است. از طرف دیگر ریاضی دانان یونان باستان عدد را به معنای نسبت 2 عدد طبیعی می شناختند واغلب گمان می کردند هر عددی را می توان به وسیله نسبت 2عدد طبیعی نشان داد.

خود فیثاغورس یا یکی از هواداران او قضیه ای از هندسه را که هنوز معروف به قضیه ء فیثاغورس است کشف کرد .

بنابراین قضیه اگر ضلع های پهلوی زاویه ای قائمه در مثلث قائم الزاویه را با طول های و را با طول فرض کنیم همیشه داریم:

البته ریاضی دانان بابلی ،مصری، وایلامی دهها سده پیش از ریاضی دانان یونان از حالت های خاص این قضیه آگاه بودند و از جمله می دانستند مثلث با ضلع های به طول3 و4و5 یک مثلث قائم الزاویه است .هنوز هم در بسیاری کتاب ها این مثلث را ((مثلث مصری )) می نامند ولی در یونان قضیه رادر حالت کلی خود ثابت کردند . این مطلب را هم یادآوری کنیم اگر طول ضلع های یک مثلث قائم الزاویه باعددهای درست والبته مثبت بیان شده باشد آن رامثلث فیثاغوری می نامند.                                 

نتیجه آن که :

اعداد حقیقی تمام اعداد را شامل می شود :

چه اعداد اصم وچه اعداد گویا و نماد نمایشی آن « R » می باشد.